La banda de Möbius

 

La banda de Möbius

En el mes de Junio de 2016, en este blog (https://bit.ly/3ggZ8lS), hablamos sobre Maurits Cornelis Escher y August Möbius y hoy en 2020, regreso a conversar sobre August Ferdinand Möbius o Moebius (1790-1868), un matemático y astrónomo teórico alemán, nacido en Schulpforta, Alemania cuya madre, Johanne Katharine Christiane Keil (1756-1820), pertenecía a la séptima generación descendiente de Martín Lutero. Cuando su esposo falleció, su único hijo contaba tres años, de manera que fue ella quien lo educó hasta los trece, edad con la que ingresó en el colegio Schulpforta.

August comenzó a estudiar Derecho en Leipzig en 1809, para complacer a su familia, pero lo dejó por su gran pasión: la ciencia. Estudió matemáticas, astronomía y física en distintas universidades y con famosos científicos de su época, en especial astronomía en Leipzig con Karl Mollweide, materia que amplió en Gotinga bajo la supervisión de Carl Friedrich Gauss. En Halle tuvo como profesor a Johann Friedrich Pfaff, quien dirigió su tesis, leída en 1815, De computandis occultationibus fixarum per planetas sobre métodos de cálculo aplicados al estudio de estrellas fijas ocultadas por planetas.

Möbius se casó en 1820 con Dorothea Rothe (1790-1859), hija de un cirujano, de la que tuvo tres hijos. En 1858 descubrió “la banda de Möbius” junto al matemático alemán Johann Benedict Listing. Esta “banda” se trata de una superficie de dos dimensiones no orientable con solamente un lado cuando está sumergido en el espacio euclidiano tridimensional. Las instrucciones para construirlo, se encontraron en una memoria presentada por Möbius a la Académie des Sciences francesa, un tiempo después de su fallecimiento en Leipzig.

Fue el primero en introducir las coordenadas homogéneas en geometría proyectiva. “La transformación de Möbius”, es importante en geometría proyectiva, y no debe ser confundida con la transformada de Möbius, usada en teoría de números, que igualmente lleva su nombre.  Möbius fue pionero de la topología, área de las matemáticas, e hizo estudios muy serios sobre las propiedades de las superficies de una sola cara. En su obra “El cálculo baricéntrico” (1827), introdujo las coordenadas proyectivas homogéneas y aportó una concepción general de las correspondencias proyectivas, aplicada posteriormente al estudio de las secciones cónicas. En su obra “Los elementos de la mecánica celeste” (1843) ofreció una completa exposición de la mecánica celeste sin necesidad de recurrir a las matemáticas superiores. Se interesó también por la teoría de números, y la importante función aritmética de Möbius μ(n) y la fórmula de inversión de Möbius se nombran así por él.

Hacer una cinta de Moebius es muy sencillo. La manera más fácil es tomar una tira de papel, girar uno de sus lados y pegar ambos extremos para formar un aro. Así, queda una banda con "un solo lado", que es la característica que define a la cinta de Moebius. Una de las características más fascinantes de la cinta de Moebius es lo que los matemáticos llaman un "objeto no orientable”, es decir, en él es imposible determinar cuál es la parte de arriba o la de abajo, la de adentro o la de afuera. Si, comienzas a caminar por la parte de "arriba" de una cinta de Moebius, cuando des toda la vuelta y llegues nuevamente al punto de partida estarás, sin darte cuenta, parado en la parte de "abajo" de la cinta. O lo que es lo mismo, si comienzas a caminar por el borde externo de la cinta, al dar la vuelta completa estarás en el borde interno de ella.

 

 La cinta de Möebius tiene un uso más que todo teórico dentro de las matemáticas. Sin embargo, su particular figura ha inspirado a artistas, diseñadores, escritores, arquitectos, ingenieros y cineastas. Es el ejemplo más sencillo de un objeto no orientable con una sola superficie, pero el asunto se puede volver aún más complejo. "Al menos la cinta de Möebius la podemos construir en 3 dimensiones, pero la botella de Klein solo podría existir en 4 dimensiones"… Lo dice Débora Tejada, doctora en matemáticas y profesora de la Universidad Nacional en Medellín, Colombia.  "Si echas agua en una botella normal, el agua no se sale", explica Tejada, "pero si teóricamente echaras agua en una botella de Klein, el agua se saldría porque esta botella no tiene interior, en ella el interior y el exterior se confunden". En topología, una botella de Klein es una superficie no orientable abierta cuya característica de Euler es igual a 0; no tiene interior ni exterior. Otros objetos no orientables relacionados son la banda de Möbius y el plano proyectivo real. Mientras que una banda de Möbius es una superficie con borde, una botella de Klein no tiene borde. Tampoco lo tiene una esfera, aunque ésta sí es orientable. Con esta especie casi de “trabaleguas”, terminamos con este tema por hoy… ¡Uf!

Maracaibo, sábado 29 de agosto del año 2020