Escher y el efecto Droste

Escher y el efecto Droste

Maurits Cornelis Escher (1898-1972) no había sido un estudiante sobresaliente y sus conocimientos matemáticos formales se reducían a los que tenía de la educación superior. Una de las principales características de los dibujos de Escher es la dualidad y la búsqueda del equilibrio, la simetría, el infinito frente a lo limitado, la utilización del blanco y el negro, donde todo objeto representado tiene su contrapartida; en junio 5 del 2016 hablamos sobre sus dibujos: (https://bit.ly/2FPhtXG). 

Escher desafíó las leyes de la perspectiva al crear repeticiones infinitas y distorsionadas para las que parecía no tener ni los medios ni los cálculos para completarlas. Para descifrar estos dibujos, el profesor Lenstra identificó lo que él llamó el efecto Droste. Una imagen que exhibe el efecto Droste incluye dentro de ella una versión de menor tamaño de sí misma, la que a su vez incluye en un lugar similar una versión aún más pequeña de sí misma, y así sucesivamente. El origen del nombre de este efecto está en el embalaje usado por Droste, una de las principales marcas alimenticias holandesas, que comenzó a emplear una imagen recursiva impresa sobre sus envases de cacao en polvo (ver). El efecto Droste no es una idea reciente; ya había sido utilizado en los vitrales de la edad Media y por Giotto di Bondone en 1320 en su Tríptico Stefaneschi. Este retablo políptico retrata en su panel central al Cardenal Jacopo Caetani degli Stefaneschi, y fue ofrendado en su nombre en la antigua basílica de San Pedro (ver). 

Las composiciones de Escher empezaron a explorar errores de perspectiva en estructuras que, a primera vista, parecían plausibles, pero que estudiadas más de cerca resultaban imposibles de crear. Escher comenzó a trabajar en sus ilusiones espaciales, con edificios en los que las escaleras ascienden a la parte baja y descienden hacia la alta en un impresionante juego de perspectivas; del mismo modo, las leyes físicas parecen derrotadas en sus corrientes de agua, que descienden en su subida para caer en sorprendente cascada hasta la que es su propia fuente. Los biógrafos de este artista recuerdan la profunda impresión que en él causo su primera visita a España en 1925, y su contacto directo con La Alhambra granadina; en ella, su decoración geométrica y su característico entrelazamiento presentan no pocos puntos de contacto con la poética escheriana. Todavía en 1936 Escher volvió a Granada fascinado como estaba por el arte nazarí. 

En 1954, en el Congreso Internacional de Matemáticos de Amsterdam, se expusieron unos grabados suyos, y desde entonces mantuvo un diálogo con matemáticos y cristalógrafos como fuente de inspiración para sus construcciones imposibles, sus ilusiones ópticas y sus representaciones del infinito. La solución de cómo llevar a cabo estas construcciones la encontró en el artículo matemático de H.S.M. Coxeter, un experto en geometría destacando en la teoría de politopos, la geometría no euclídea, teoría de grupos y combinatoria. (Crystal Symmetry and Its Generalizations”). Las bandas de Möbius capturaron también la imaginación de M. C. Escher, cuya pintura “Banda de Möbius II” que muestra a hormigas gateando por una curiosa superficie sin final ya mostramos en junio del 2016.

En una de estas “composiciones infinitas”, llamada Galería de grabados (ver), el dibujante Escher, distorsionó esta repetición sin fin, que rota y se tuerce, adquiriendo formas imposibles. El impacto de la obra sería perfecto, sino fuera porque justo en el centro de la imagen, entre las construcciones mediterráneas y las ventanas de la galería, hay una mancha circular blanca, un vacío, sobre el que Escher estampó su firma. La litografía estaba terminada. Era el año 1956. Casi cincuenta años después, un matemático de la Universidad de Leiden en Holanda consiguió completar la obra.

 

Arjen Klaas Lenstra (1956) es un matemático holandés activo en la criptografía y la teoría de números computacional, cuyo resultado científico más citado es “el primer algoritmo de tiempo polinomial para factorizar polinomios con coeficientes racionales”. Lenstra publicaría el artículo seminal que introdujo el algoritmo de reducción de celosía LLL, con Hendrik Willem Lenstra y László Lovász. El hermano de Lenstra, Hendrik Lenstra, es profesor de matemáticas en la Universidad de Leiden y su otro hermano Jan Karel Lenstra es ex director de Centrum Wiskunde & Informatica (CWI).

La primera vez que el profesor Hendrik Lenstra se encontró con la litografía de Escher fue en la revista del avión volando de San Francisco a Amsterdam. Lenstra aprovechó el viaje para buscar la solución del puzle. “Me preguntaba qué pasaría si continuaban las líneas hacia dentro. ¿Había algún problema matemático que no se podía resolver?”, explicó el profesor en una entrevista a The New York Times. “¿Cómo podría yo, un matemático, hacer un cuadro como este?”. La respuesta a estas preguntas no llegó en las horas de vuelo, y Lenstra decidió embarcarse en una investigación de dos años y para desentrañar el círculo vacío de Galería de grabados debería descifrar también al propio Escher.

Para encontrar los valores exactos que Escher había utilizado en la distorsión de sus litografías, el equipo de Lenstra estuvo meses probando combinando rotaciones, funciones exponenciales y logarítmicas, junto a reducciones de tamaño o escala, hasta acertar. Dos años después, Lenstra y su equipo resolvían uno de los grandes misterios de uno de los artistas más enigmáticos. Como sucede con la literatura de Borges o la música de Bach, en la vasta obra de Escher abundan las ideas de infinito y autorreferencia. Y, aunque a primera vista no lo parezca, estos son los temas de la litografía Galería de grabados (Prentententoonstelling), que el maestro acabó en 1956. “Sin embargo”, según palabras de la periodista Beatriz Guillén Torres (The Objective Media),“la respuesta siempre había estado ahí: Escher era un genio, dentro de un genio, dentro de un genio”…

Mississauga, Ontario, sábado 6 de Julio del 2019